Введение

Вероятности переходов в квантовомеханической системе, подвергнутой внешнему воздействию, определяются прежде всего временным интервалом, в течение которого происходит взаимодействие. В общем случае изменение взаимодействия во времени может подчиняться произвольному закону. Например, при возбуждении атома пролетающей тяжелой заряженной частицей скорость изменения взаимодействия определяется скоростью самой частицы. В случае нерезонансного рассеяния γ-кванта время взаимодействия определяется частотой кванта, а при резонансном рассеянии — временем жизни возбужденного состояния

Это характерное время τ, которое мы будем называть временем столкновения, всегда важно не само по себе, а в сравнении с периодом 2π/ω, свойственным той квантовой системе, переходы в которой нас интересуют. Адиабатические взаимодействия (ωτ >> 1) приводят к малым (экспоненциально или степенным образом) вероятностям квантовых переходов в состояниях с дискретным спектром. Наиболее «подходящим» для возбуждения является противоположный предельный случай — случай внезапных возмущений (ωτ << 1), когда вероятность перехода в любое другое состояние может стать близкой к единице.

Среди различных типов "встрясок" можно выделить два предельных случая. В первом гамильтониан системы резко изменяется за время τ, которое намного меньше 1/ω ("встряска" типа включения, рис. 1). Во втором типе возмущение V(t) действует в течение короткого времени τ, а при t → ±∞ гамильтониан возвращается к невозмущенному состоянию ("встряска" типа рассеяния, рис. 2). Существует также общий случай, сочетающий скачок гамильтониана и толчок возмущения (рис. 3).

Рис. 1 - Схематическое изображение "встряски" типа "включения"

Рис. 2 - Схематическое изображение "встряски" типа "рассеяния"

Рис. 3 - Схематическое изображение общего случая "встряски"

Простейший пример "встряски" типа включения — попадание электрона в область сильного внешнего поля. В этом случае для заметного изменения вероятностей переходов достаточно, чтобы величина изменения гамильтониана была сопоставима с его значением. Для "встряски" типа рассеяния требуется более сильное возмущение V(t), чтобы выполнялось условие Vτ/ħ ≥ 1.

Классические исследования "встрясок" сосредоточены на эффекте атомной структуры в быстрых ядерных реакциях. Однако процессы на атомном и молекулярном уровнях еще более разнообразны из-за их чувствительности к внешним полям. Несмотря на различия в физической природе процессов, рассматриваемых как "встряски", их объединяет наличие общего параметра N, смысл которого будет обсужден далее.

Общие закономерности и характерные особенности реальных встрясочных явлений (их перечень, естественно, неограничен) детально могут быть изучены уже на примере взаимодействия слабосвязанного электрона интенсивным электромагнитным излучением. Сюда в первую очередь относится комптоновский эффект на атомном электроне, а также процессы поглощения, испускания или рассеяния света с участием молекул. Кроме того, описание "встрясочного" параметра N полезно для анализа столкновений молекул с быстрыми заряженными частицами. Не углубляясь в отдельные эффекты, мы сосредоточимся на "встрясочной" интерпретации задач.

Параметр N, как видно из дальнейшего анализа, существенно зависит от величины неопределенности в координатах невозмущенной системы δR, которая связана с относительно медленными внутренними движениями. Подчеркнем, что происхождение разброса по координатам физически неважно. Оно может быть обусловлено классическим движением электрона в лазерной волне, квантованным движением в поле атома, молекулы или кристаллической решетки и т. п. В разных ситуациях меняются лишь формулы для вероятностей переходов, характерная же зависимость их от параметра N остается неизменной.

Прежде чем все это продемонстрировать, необходимо, однако, иметь последовательную теорию внезапных возмущений, например, в виде ряда по степеням ωτ с тем, чтобы заведомо можно было указать область применимости «встрясочного» подхода и, в частности, понять, в каких же столкновениях следует ожидать появления такой характеристики, как параметр N. Напомним сначала о том, что было известно по этому поводу до сих пор.

Теория внезапных возмущений построена только для нескольких модельных задач, обычно же исследуется лишь нулевое приближение для амплитуды перехода по параметру ωτ. Во «встряске» типа рассеяния самым интересным является случай произвольных Vτ/ħ. В имеющейся теории для нахождения амплитуд переходов при такой «встряске» вводятся два неравноценных предположения о коммутациях:

Несмотря на эти жесткие требования (условие [V, H] = 0 никогда не выполняется), относительная простота выражения для амплитуды рассеяния в этом приближении способствовала широкому использованию его в работах по изучению колебательно-вращательного возбуждения молекул в столкновениях с электронами и тяжелыми частицами. При этом, поскольку настоящая теория внезапных возмущений отсутствовала, оценивать результаты оставалось исключительно путем численного сопоставления их с другими, более обоснованными расчетами.

В новой теории, представленной в гл. 2, устраняются ограничения предыдущих подходов. Показано, что при малых ωτ условие [V, H] = 0 не требуется. В то же время сложность теории возрастает, если коммутатор [V(t), V(t')] для различных моментов времени велик. Простейшие выражения для амплитуд переходов справедливы лишь в пределе ξ → 0.

В ядерной физике имеется хороший пример того, когда потенциал взаимодействия велик, и в то же время отнюдь не мал коммутатор. Мы имеем в виду тензорную часть межнуклонного взаимодействия, пропорциональную оператору:

где σ₁,₂ — спиновые операторы, а r — радиус-вектор между двумя нуклонами.

Выбирая произвольную классическую траекторию движения одного нуклона при его рассеянии на другом, легко убедиться, что операторы (σ₁n)(σ₂n), взятые в разные моменты времени (от времени зависит направление единичного вектора n = r/|r|), не коммутируют между собой.

Примером сложного взаимодействия в ядерной физике является тензорная часть межнуклонного взаимодействия, зависящая от спиновых операторов и радиус-вектора между нуклонами. В атомной физике аналогичным примером служит взаимодействие магнитного момента с переменным магнитным полем. Если поле меняет направление за время τ, потенциал V = μH(t) не коммутирует сам с собой. В таких случаях теория внезапных возмущений требует более сложных подходов, выходящих за рамки простейших моделей.

Теория внезапных возмущений

а) «Встряска» типа рассеяния при ℥ = 0

Предположим, что полный гамильтониан квантовомеханической системы H разбивается на сумму не зависящей от времени части H₀ (невозмущенный гамильтониан) и части, обусловленной взаимодействием с внешним полем, V(t):

Будем считать, что V(t) сосредоточено в интервале времени τ вблизи момента t₀, а также что операторы V(t), взятые в разные моменты времени, коммутируют между собой.

В дальнейшем мы будем различать векторы состояний квантовой системы, записываемые в представлении взаимодействия |Ψ>, и в представлении Шрёдингера |Φ>, и соответствующие унитарные операторы эволюции S (t, t') и U (t, t'), связывающие подобные векторы в разные моменты времени:

В самом общем случае максимально возможное описание квантовомеханической системы достигается при использовании вместо векторов состояний оператора квантовой плотности ρ. Нам будет удобно пользоваться оператором плотности, записанным в представлении взаимодействия:

где весовые множители ωs определяют вероятности обнаружить систему в различных квантовых состояниях |Ψs>. Эволюция оператора ρ(t) во времени происходит по закону:

Оператор временной эволюции S (t, t') удовлетворяет дифференциальному уравнению:

с граничным условием S (t, t) = I, где W(t) — оператор возмущения в представлении взаимодействия:

В терминах векторов состояний, описывающих чистый ансамбль, задача рассеяния ставится следующим образом. Пусть | i> и | f> — начальное и конечное состояния системы, являющиеся собственными функциями гамильтониана H₀:

Для рассмотрения задачи рассеяния вводится понятие амплитуды перехода S_fi, определяемой как:

где |i> и |f> — начальное и конечное состояния системы.

Задача рассеяния в случае смешанного ансамбля не может быть сформулирована как задача о квантовых переходах в обычном смысле этого слова. Будем считать, что в начальном состоянии (t → - ∞) система описывается оператором плотности

(сумма берется по всем собственным состояниям невозмущенного гамильтониана H₀). Тогда вероятность обнаружить систему в стационарном состоянии |f> невозмущённого гамильтониана при t → +∞ даётся формулой

Если ℏω – типичные собственные значения H₀, а параметр ωτ, то оператор возмущения в представлении взаимодействия можно разложить в ряд по степеням ωτ (здесь W_n ~ (ωτ)ⁿ):

В нулевом приближении по малому параметру ωτ, где ω— характерная частота невозмущённой системы, амплитуда перехода принимает вид:

б) Рассеяние в общем случае (℥ ≠ 0)

Если операторы V(t), взятые в разные моменты времени, не коммутируют, разложение уравнения эволюции требует применения разложения Магнуса:

где A₁, A₂, . . . являются интегралами коммутаторов операторов V(t).

в) «Встряхивание» с изменением гамильтониана системы

Рассматривается случай, когда гамильтониан системы резко меняется в момент воздействия внешнего поля. Амплитуда перехода между состояниями вычисляется как:

Возбуждение гармонического осциллятора

Букавки

Заключение

В данной работе рассмотрены особенности взаимодействия ультракоротких импульсов с квантовыми системами...

Список использованных источников

1. Букавки.

Приложения

Дополнительные материалы.